"Bildungsansprüche von Grundschulkindern - Standards zeitgemäßer Grundschularbeit"

2.2 Tragfähige Grundlagen: Mathematik

Didaktische Orientierung

Aufgabe des Mathematikunterrichts aller Schuljahre ist es, an die unterschiedlich ausgeprägten Kenntnisse, Fertigkeiten, Fähigkeiten und Einstellungen der Kinder anzuknüpfen und deren Weiterentwicklung durch gehaltvolle und beziehungsreiche Lernangebote zielbewusst anzuregen (1).

Orientierung geben hierbei Aussagen zu

• mathematischen Kenntnissen und Fertigkeiten
• Fähigkeiten mathematischen Arbeitens und
• Einstellungen zur Mathematik.

Die Lerninhalte des Faches Mathematik sind den drei Bereichen Arithmetik, Geometrie und Sachrechnen zugeordnet.

Arithmetik

Inhaltlich steht im Bereich Arithmetik die Entwicklung solider Zahlvorstellungen sowie die Ausbildung verständigen, sicheren und flexiblen Rechnens im Mittelpunkt (2).

Solide Zahlvorstellungen: Das verständige Umgehen mit Zahlen ist eine Grundvoraussetzung für das Rechnenkönnen. Die Kinder sollten Zahlen nicht nur als Symbole benutzen, mit denen man rechnen kann, sondern Vorstellungen von Zahlen, ihren Größenordnungen, ihren Eigenschaften, ihren Beziehungen zu anderen Zahlen, ihrem Auftreten im Alltag usw. entwickeln.

Sicheres Rechnen: Voraussetzung für sicheres Rechnen ist die verständnismäßig grundgelegte, gedächtnismäßige Verfügbarkeit von Wissenselementen, wie des Einspluseins, des Einmaleins oder weiterer Komponenten des sog. Blitzrechnens. Die schriftlichen Normalverfahren (Ziffernrechnen) sind nach wie vor ein wichtiger Unterrichtsinhalt, bilden jedoch nicht länger das Zentrum des Rechenunterrichts. Sicherheit im Zahlenrechnen, also im Kopfrechnen und im halbschriftlichen Rechnen, ist für die Bewältigung von Alltagsanforderungen wie für die Belange des weiterführenden Mathematikunterrichts unverzichtbar.

Verständiges, flexibles Rechnen: Das Verständnis der verschiedenen Strategien und Verfahren des Rechnens sowie die aufgabenbezogene Flexibilität bei der Wahl des Rechenweges sind zentrale Kennzeichen mündiger Rechner. Besondere Bedeutung kommt auch dem überschlagenden Rechnen zu, einer im Alltag häufig benötigten Kompetenz.

Geometrie

Im Geometrieunterricht der Grundschule geht es inhaltlich im Wesentlichen um die Schulung der Raumvorstellung, um das Herstellen und Analysieren ebener und räumlicher Grundformen sowie um das Ausführen und verstehende Durchdringen geometrischer Operationen (3).

Dynamische Raumvorstellung: Ein wichtiges Ziel besteht in der Schulung der Kompetenzen, sich in der Ebene und im Raum z. B. mit Hilfe von Plänen zu orientieren, Lagebeziehungen zwischen Objekten in der Ebene und im Raum zu erkennen und zu nutzen sowie Bewegungen im Raum gedanklich durchführen zu können.

Herstellen und Analysieren von Grundformen: Hierzu gehören das Herstellen ebener und räumlicher Grundformen (Dreieck, Quadrat, Rechteck, Kreis; Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Pyramide) sowie von Objekten aus solchen Grundformen, das Erkennen und Beschreiben dieser Grundformen in der Umwelt oder die Sammlung von ersten Erfahrungen zu Maßen geometrischer Grundformen (Länge, Flächeninhalt (Meterquadrate) und Volumen (Meterwürfel)).

Geometrische Operationen: Einerseits sollen geometrische Fertigkeiten - wie bauen, zeichnen mit ohne Hilfsmittel, falten oder spiegeln - geschult werden. Zum anderen geht es darum, über die Wirkungen dieser Operationen - auch anhand geometrischer Phänomene wie Spiegelbildern, Bandornamenten, Parketten, Maßstabsveränderungen - nachzudenken und sie zu analysieren.

Sachrechnen

Sachrechnen setzt Kompetenzen in verschiedenen Bereichen voraus: Mathematische Kompetenzen (wie Fertigkeiten im Rechnen oder im Umgang mit Darstellungsformen), sprachliche Kompetenzen (wie Sprach- und Leseverständnis) sowie Kompetenzen aus dem Bereich des Sachunterrichts (wie spezifisches Sachwissen).

Mathematisierung/Modellbildung: Ziel des Sachrechnens ist einerseits das Nutzen mathematischer Kompetenzen für die Bewältigung der Umwelt, andererseits soll auch die Umwelt für ein besseres Verständnis mathematischer Sachverhalte genutzt werden (s. u. Anwendungsorientierung und Strukturorientierung). Als langfristiges Ziel ist die Entwicklung umweltverantwortlichen Handelns zu sehen.

Größen: Ein weiterer zentraler Bereich betrifft den Aufbau solider Größenvorstellungen. Diesbezügliche Kenntnisse sollen im alltäglichen Leben angewendet werden, was zu einer zunehmenden Strukturierung des Lebens verhelfen kann.

Fähigkeiten

Über inhaltsbezogene Kenntnisse und Fertigkeiten hinaus soll der Unterricht die Selbstständigkeit, die mathematische Mündigkeit, die Argumentations-, die Ausdrucks- und die Kooperationsfähigkeit der Kinder fördern. Daher sollen die Kinder in zunehmendem Maße

• beim Erfinden und beim Bearbeiten von Aufgaben kreativ sein
• Sachsituationen mathematisieren
• Auffälligkeiten begründen
• eigene Überlegungen darstellen
• mit Mitlernenden kooperieren.

Einstellungen

Der Unterricht fördert eine positive Einstellung zum Mathematiklernen. Er unterstützt das Lernen durch Hinweise und Rückmeldungen, die sich an vorhandenen Kompetenzen orientieren. So erfahren Kinder, dass sie etwas können und ihre mathematische Aktivität bedeutungsvoll ist. Dadurch entwickeln sich

• Selbstvertrauen in die eigenen mathematischen Kompetenzen
• Interesse und Neugier an mathematikhaltigen Phänomenen
• Motivation, Ausdauer und Konzentration im Prozess des mathematischen Arbeitens
• ein konstruktiver Umgang mit Fehlern und Schwierigkeiten
• Einsicht in den Nutzen des Gelernten für die Bewältigung von mathematischen Problemen und Lebenssituationen.

Anmerkungen
(1)vgl. Heinrich Winter (1975): Allgemeine Lernziele für den Mathematikunterricht? Zentralblatt für Didaktik der Mathematik H. 3 S. 106-116
(2) vgl.: Günter Krauthausen (1993): Kopfrechnen, halbschriftliches Rechnen, schriftliche Normalverfahren, Taschenrechner: Für eine Neubestimmung des Stellenwertes der vier Rechenmethoden. Journal für Mathematik-Didaktik (3/4), 189-219
Wilhelm Schipper (1998): Schriftliches Rechnen - ein Fossil mit Zukunft. Die Grundschulzeitschrift (119), 10-16
Christoph Selter (2002): Was heißt eigentlich rechnen lernen? In: Wolfgang Böttcher & Peter Kalb (Hg.): Kerncurriculum Grundschule. Weinheim: Beltz, 169-197
Erich Ch Wittmann / Gerhard N. Müller (1990/1992): Handbuch produktiver Rechenübungen. Bd. 1 & 2. Stuttgart: Klett
(2) vgl. Marianne Franke (2000): Didaktik der Geometrie. Heidelberg: Spektrum
Erich C. Wittmann (1999). Konstruktion eines Geometriecurriculums ausgehend von Grundideen der Elementargeometrie. In: H. Henning (Hg.), Mathematik lernen durch Handeln und Erfahrung. Festschrift zum 75. Geburtstag von Heinrich Besuden. Oldenburg: Bültmann & Gerrits, 205-223
(3) Heinrich Winter (1997): Problemorientierung des Sachrechnens in der Primarstufe als Möglichkeit, entdeckendes Lernen zu fördern. In: P. Bardy (Hg.), Mathematische und mathematikdidaktische Ausbildung von Grundschullehrerinnen/-lehrern, S. 57-92. Weinheim:Beltz

Veröffentlichungen des Grundschulverbandes

Hans Brügelmann, Maria Fölling-Albers, Sigrun Richter (Hrsg.) (1998): Jahrbuch Grundschule 98

Gerhard N. Müller / Erich Ch Wittmann (Hrsg.) (1995): Mit Kindern rechnen. Frankfurt a.M.: Grundschulverband Band S. XX, darin Kapitel Forschung zur Mathematikdidaktik S. 80-138

Gerhard N. Müller / Erich Ch. Wittmann (Hrsg.) (1995): Mit Kindern rechnen. Band 96

Petra Scherer / Dagmar Bönig (Hrsg.): Mathematik für Kinder - Mathematik von Kindern. In Vorbereitung

Tragfähige Grundlagen

Ziele

Arithmetik

• Die Kinder besitzen sichere Vorstellungen von Zahlen und Zahlbeziehungen im Zahlraum bis zu 1.000.000 sowie vom Aufbau des Zehnersystems.
• Sie verfügen über Sicherheit im Blitzrechnen, im Besonderen beherrschen sie die Aufgaben des kleinen 1+1 und des kleinen 1x1 gedächtnismäßig.
• Sie rechnen auf der Basis von Grundvorstellungen der vier Grundrechenarten verständig und unter Ausnutzung operativer Strategien sicher mündlich und halbschriftlich.
• Sie verstehen die Normalverfahren der schriftlichen Addition, Subtraktion und Multiplikation und können diese geläufig ausführen; sie verstehen das Verfahren der schriftlichen Division.
• Sie runden Zahlen und schätzen Ergebnisse angemessen und rechnen mit gerundeten bzw. geschätzten Zahlen überschlagend.
• Sie wählen Rechenwege Aufgaben bezogen, aber auch abhängig von eigenen Präferenzen aus, hierbei setzen sie ab Klasse 4 auch den Taschenrechner reflektiert ein.

Geometrie

• Die Kinder kennen die Eigenschaften geometrischer Grundformen und die Wirkungen zentraler geometrischer Operationen und nutzen diese.
• Sie wenden geometrische Grundfertigkeiten - wie Zeichnen, Falten, Schneiden, Bauen - aufgabengerecht an.
• Sie verfügen über räumliches Vorstellungsvermögen.
• Sie besitzen Grunderfahrungen zu geometrischen Grundideen wie Flächeninhalt, Umfang, Symmetrie, Ähnlichkeit oder Parallelität.

Sachrechnen

• Die Kinder verfügen über Grundkenntnisse in lebensrelevanten Größenbereichen (Geld, Zeit, Länge, Gewicht, Rauminhalt, Flächeninhalt, Geschwindigkeit). In den fünf erstgenannten Größenbereichen kennen sie verschiedene Einheiten und deren Beziehungen untereinander, verfügen über Standardbezugsgrößen für das Schätzen und Überschlagen und sind in der Lage zu messen.
• Sie haben nicht zuletzt durch Stützpunktwissen realistische Größenvorstellungen aufgebaut. Sie können unterscheiden, in welchen Situationen das Schätzen und in welchen das Messen sinnvoll ist.
• Sie können unterschiedliche Typen von Sachaufgaben (Sachprobleme, Sachtexte, Textaufgaben, Projekte etc.) bearbeiten.
• Sie kennen verschiedene Modelle zur Mathematisierung von Sachsituationen (z.B. Zeichnungen, Zahlensätze, Simulationen) und wählen diese angemessen aus.

Bereichsübergreifende Fähigkeiten und Einstellungen

• Die Kinder erforschen problemhaltige Situationen experimentell, dabei gehen sie eigene Wege oder übertragen gelernte Strategien, entdecken Auffälligkeiten und Muster und erfinden Aufgaben (kreativ sein).
• Sie erschließen sich Sachsituationen eigenständig, bestimmen und beschaffen dazu Informationen mittels geeigneter 'Verfahren' (Zählen, Messen, Schätzen, Befragen, Nachlesen, Internetrecherche?), modellieren und bearbeiten die Situationen und beziehen die Ergebnisse wieder auf die Ausgangssituation (mathematisieren).
• Sie strukturieren Auffälligkeiten (z. B. durch Ordnen), drücken diese für andere nachvollziehbar mündlich oder schriftlich aus und bedienen sich dabei angemessener Darstellungsweisen. Sie kennen wichtige mathematische Zeichen, Fachbegriffe und Notationsformen und verwenden diese sachgerecht (darstellen).
• Sie stellen Vermutungen über mathematische Sachverhalte (Beziehungen, Auffälligkeiten, Muster und Regelhaftigkeiten, Ausnahmen, usw.) auf und bestätigen oder widerlegen diese anhand repräsentativer Beispiele oder allgemeiner Überlegungen (begründen).
• Sie bearbeiten gemeinsam mit anderen komplexere Aufgaben, halten dabei Verabredungen ein und setzen eigene und fremde Standpunkte sachgerecht zueinander in Beziehung (kooperieren).
• Sie besitzen Zutrauen in die eigenen Lernmöglichkeiten, sie sind an herausfordernden Aufgabenstellungen interessiert und geben bei Schwierigkeiten nicht sofort auf.
• Sie verstehen Fehler und Schwierigkeiten als natürliche Bestandteile des Lernprozesses und nutzen sie produktiv.
• Sie erkennen die Relevanz des Gelernten für die Lösung von Problemen mit und ohne Wirklichkeitsbezug an.

Bedingungen

Diese Ziele sind nur erreichbar, wenn der Unterricht folgende Lernbedingungen schafft:

Anwendungs- und Strukturorientierung: Im Mathematikunterricht wird der wechselseitige Bezug zwischen mathematischer Ebene und Sachebene durch die enge Verknüpfung von Anwendungsorientierungund Strukturorientierung realisiert: Im Sinne der Anwendungsorientierung sind mathematische Inhalte mit der Lebenswirklichkeit der Kinder in Zusammenhang zu bringen. Dabei muss diese Anwendungsorientierung in zwei Richtungen verlaufen. Einerseits wird das vorhandene Alltagswissen zur Darstellung mathematischer Ideen verwandt, andererseits wird Wissen über die Wirklichkeit durch die Mathematik entwickelt. Im Sinne der Strukturorientierung ist aber zugleich das Regelhafte und Gesetzmäßige sichtbar zu machen. Lernen von Mathematik bedeutet auch Aufdecken und Beschreiben von Strukturen.

Entdeckendes Lernen: In einem zeitgemäßen Verständnis wird Lernen als konstruktive Aufbauleistung des Individuums gesehen. Die Lehrkraft hat demnach die Aufgabe, herausfordernde Sinnzusammenhänge anzubieten, ergiebige Arbeitsmittel und Aufgabenstellungen bereitzustellen und Formen der Kommunikation aufzubauen und zu erhalten, die dem Lernen aller Kinder förderlich sind.
Substanzielle Lernangebote sind zentral für guten Unterricht. Sie beinhalten differenzierte Fragestellungen auf unterschiedlichem Niveau, ermöglichen verschiedene Lösungswege und vielfältige Formen des Entdeckens, Beschreibens und Begründens. So werden auch die Ziele im Bereich der Fähigkeiten und der Einstellungen erreicht.

Produktives Üben: In diesem Verständnis werden Lernen und Üben nicht als getrennt betrachtet, sondern Übung wird als integraler Bestandteil des Lernprozesses verstanden. Übungen sollen möglichst problemorientiert, operativ oder anwendungsbezogen angelegt sein. So werden auch beim Üben die Fähigkeiten mathematischen Arbeitens geschult. Übungsspiele sollen in der Regel eine mathematische Substanz besitzen. Damit automatisierende Übungen nicht sinnlos sind, setzen sie Verständnis voraus und dürfen nicht verfrüht erfolgen. Bei vielen Inhalten ist ein hinreichender Anteil an materialgestützten Übungen vorzusehen.

Individuelles und gemeinsames Lernen: Der Mathematikunterricht versteht Lernen als eigenständigen Prozess, indem individuelle Wege und Lösungsstrategien akzeptiert werden. Damit alle Kinder tragfähige Grundlagen erwerben können, muss der Mathematikunterricht den unterschiedlichen Lernvoraussetzungen und Lernmöglichkeiten der einzelnen Kinder durch Maßnahmen der Individualisierung gerecht werden. Das Lernen auf eigenen Wegen sollte durch das Lernen voneinander ergänzt werden, denn auch der soziale Austausch, die Interaktion ist für die Wissenskonstruktion notwendig (andere Lösungswege kennen lernen, die eigene Sichtweise artikulieren, Rückmeldung dazu erhalten und diese nutzen, über verschiedene Herangehensweisen nachdenken und diese bewerten). So wird auch im Mathematikunterricht die Kooperationsfähigkeit gefördert.

Bandbreiten der Entwicklung

Am Ende der Klasse 4 gibt es erfolgreiche und weniger erfolgreiche Schülerinnen und Schüler im Mathematikunterricht, u. a. abhängig von variierenden Stärken und Schwächen in den Bereichen Arithmetik, Geometrie, Sachrechnen, aber auch in anderen Fächern wie etwa Sprache. Sie sind auch bedingt durch unterschiedliche Interessen oder außerschulische Anregungen.

Unterschiedliche Leistungen sind häufig auf unterschiedliche Lerngeschwindigkeiten und Lernvoraussetzungen, nicht auf grundsätzlich andere Formen des Lernens zurückzuführen. Langsam und schnell lernende Kinder sollten so lange wie möglich im heterogenen Klassenverband verbleiben. Substanzielle Aufgabenstellungen ermöglichen eine natürliche Differenzierung und erlauben eine Förderung auf individuellem Niveau. Kinder mit besonderen Lernvoraussetzungen verdienen darüber hinaus weitere Fördermaßnahmen, die an ihre individuellen Lernmöglichkeiten anknüpfen. Der Mathematikunterricht sollte jedes Kind ermutigen, sein individuelles Leistungspotenzial auszuschöpfen.